从零开始的 IMU 状态模型推导: https://fzheng.me/2016/11/20/imu_model_eq/

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• 0. 总览
• 1. IMU 运动模型
  • 1-1. 前置(1)： 旋转量求导
  • 1-2. 前置(2)： 四元数
  • 1-3. IMU 运动模型
• 2. IMU 观测和噪声模型
  • 2-1 前置(1)： 科氏加速度
  • 2-2 前置(2)： 惯性导航相关坐标系定义
  • 2-3 前置(3)： 高斯白噪声与随机游走
  • 2-4. IMU 观测模型
• 3. IMU 状态估计误差模型
  • 3-1. 前置：四元数误差小量
  • 3-2. IMU 状态估计误差模型
• 4. 小结
• 参考文献

提示：请使用 Firefox，Chrome，Edge 等较新的浏览器阅读，以获得完整的公式排版。IE 请使用 IE 11。

本文已授权「泡泡机器人 SLAM」微信公众号（paopaorobot_slam）发表。

0. 总览

IMU 是移动机器人、移动智能设备上常见的传感器。常见的 IMU 为六轴传感器，配备输出三轴加速度的加速度计和输出三轴角速度的陀螺仪。九轴 IMU 还会配备输出三轴姿态角的磁力计。我们这里只讨论六轴 IMU。

IMU 的状态量通常表示为：

$\begin{array}{cccc}& {\mathbf{X}}_{IMU}={[}_G^I{\bar{q}}^T{\mathbf{b}}_g^T{}^G{\mathbf{v}}_I^T{\mathbf{b}}_a^T{}^G{\mathbf{p}}_I^T]& & \text{(0.0)}\end{array}$

这里我们使用和 MSCKF [1] 一样的 notation。用 {I} 表示 IMU 坐标系，{G} 表示参考坐标系。IMU 的姿态由旋转量 ${}_G^I\bar{q}$ 和平移量 ${}^G{\mathbf{p}}_I$ 表示。更具体来说，前者为将任意向量从 {G} 坐标映射到 {I} 坐标的旋转量，用单位四元数表示；后者为 IMU 在 {G} 下的三维位置。${}^G{\mathbf{v}}_I$ 表示 IMU 在 {G} 下的平移速度。另外两个量 ${\mathbf{b}}_g$ 和 ${\mathbf{b}}_a$ 表示陀螺仪（角速度计）和加速度计的 bias。可以注意一下这里除了 bias 之外的状态量的时间维度：平移量表达到速度（p 和 v，对时间的一阶导），因为 IMU 只提供到加速度（对时间的二阶导）的测量；旋转量只表达姿态量（对时间的零阶导），因为 IMU 提供到角速度（对时间的一阶导）。状态量的估计可以由 IMU 测量积分得到。

对于 IMU 状态估计问题，需要提供运动模型、观测（噪声）模型、估计误差模型：

$\begin{array}{cccc}& \dot{\mathbf{x}}=f(\mathbf{x})& & \text{(0.1)}\end{array}$$\begin{array}{cccc}& \mathbf{z}=g(\mathbf{x})+\mathbf{n}& & \text{(0.2)}\end{array}$$\begin{array}{cccc}& \delta \mathbf{x}=e(\widehat{\mathbf{x}},\mathbf{x})& & \text{(0.3)}\end{array}$

这是一个通用模型，我们用 $\mathbf{x}$ 表示真实状态量（待估计，不可知），用 $\mathbf{z}$ 表示观测量，$\mathbf{n}$ 表示观测噪声，$\widehat{\mathbf{x}}$ 表示当前的状态估计量。这篇小文主要讲 IMU （即 $\mathbf{x}:={\mathbf{X}}_{IMU}$ 时）这三个模型的推导。

1. IMU 运动模型

1-1. 前置(1)： 旋转量求导

这部分讲刚体动力学相关的前置知识，熟悉的读者可以跳过。

众所周知，一个刚体在同一个惯性坐标系下进行平移运动，其平移量对时间的一阶导和二阶导即速度和加速度：

$\dot{\mathbf{p}}=\mathbf{v},\dot{\mathbf{v}}=\mathbf{a}$

对于旋转量以及非惯性系参考坐标系，情况稍微复杂些。

首先，如下图（左）所示，考虑一个从原点出发的向量 $\mathbf{r}$ 绕单位轴 $\mathbf{u}$ 旋转，角速度大小为 $\dot{\theta }$。

角速度矢量可以表示为 $\mathit{\omega }=\dot{\theta }\mathbf{u}$。易得向量 $\mathbf{r}$ 末端点 P 的速度矢量，即 $\mathbf{r}$的时间一阶导为

$\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathit{\omega }\times \mathbf{r}$

现在考虑上图（右），坐标系 {B} 绕单位轴 $\mathbf{u}$ 旋转，如上所述，其三个轴的时间一阶导同样为

$\frac{d{\mathbf{i}}_B}{dt}=\mathit{\omega }\times {\mathbf{i}}_B,\frac{d{\mathbf{j}}_B}{dt}=\mathit{\omega }\times {\mathbf{j}}_B,\frac{d{\mathbf{k}}_B}{dt}=\mathit{\omega }\times {\mathbf{k}}_B$

我们知道，$[{\mathbf{i}}_B{\mathbf{j}}_B{\mathbf{k}}_B]$ 实际上就是坐标系 {B} 相对于参考坐标系的旋转矩阵 $\mathbf{R}$。所以 $\mathbf{R}$ 的时间一阶导为

$\begin{array}{cccc}& \dot{\mathbf{R}}=[\mathit{\omega }\times {\mathbf{i}}_B\mathit{\omega }\times {\mathbf{j}}_B\mathit{\omega }\times {\mathbf{k}}_B]=\mathit{\omega }\times \mathbf{R}& & \text{(1.0)}\end{array}$

我们知道上面的叉乘运算可以转化为负对称矩阵的乘法：

$\begin{array}{cccc}& \dot{\mathbf{R}}={\mathit{\omega }}^{\wedge }\mathbf{R}& & \text{(1.1)}\end{array}$

其中负对称矩阵为

${\mathit{\omega }}^{\wedge }=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& -{\omega }_1\\ -{\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right]$

注意这里的角速度 $\mathit{\omega }$ 是在参考坐标系下表达的。角速度也经常表达在体坐标系 {B} 下，记为 ${}^B\mathit{\omega }={\mathbf{R}}^T\mathit{\omega }$，即 $\mathit{\omega }=\mathbf{R}{}^B\mathit{\omega }$，于是 $(1.1)$ 可以写作

$\begin{array}{cccc}& \dot{\mathbf{R}}=(\mathbf{R}{}^B\mathit{\omega }{)}^{\wedge }\mathbf{R}& & \text{(1.2)}\end{array}$

这里我们要利用负对称矩阵的一个很好的性质：对任意旋转矩阵 $\mathbf{R}$ 和三维向量 $\mathbf{v}$，都有 $(\mathbf{R}\mathbf{v}{)}^{\wedge }={\mathbf{R}{\mathbf{v}}^{\wedge }\mathbf{R}}^T$（参看《(Rv)^ = Rv^R’ 的简单证明》），于是 $(1.2)$ 可以写成

$\begin{array}{cccc}& \dot{\mathbf{R}}=\mathbf{R}({}^B\mathit{\omega }{)}^{\wedge }& & \text{(1.3)}\end{array}$

比较一下 $(1.1)$ 和 $(1.3)$，可以发现一个很有趣的事实，角速度如果表达在参考坐标系下，负对称矩阵写在左边；如果表达在体坐标系下，负对称矩阵写在右边。这点微小的区别，读者在阅读文献时可以特别留意。

1-2. 前置(2)： 四元数

这部分讲四元数如何表示旋转的前置知识，熟悉的读者可以跳过。

用旋转矩阵来表示旋转很直观，但过于冗余，因为旋转只有三个自由度，而旋转矩阵有九个量。表征旋转还可以用欧拉角，但有万向锁问题，而且计算也不方便。旋转向量（即李代数 so(3)）和四元数是更常用的表征方法，在惯性导航中四元数似乎更普遍些。这里采用四元数。

一个四元数由一个实部和三个虚部构成，书写顺序各家不同，这里和 MSCKF [1] 一样，虚部在前实部在后：

$\mathbf{q}=q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k+q_4=[{\mathit{v}}^T{q}_4{]}^T$

虚部 $\mathit{v}=[q_1{q}_2{q}_3{]}^T$。虚部三个基 $i,j,k$ 满足 $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$。 四元数仍是一种冗余表达法，为了更紧凑，通常使用使用单元四元数 $\bar{\mathbf{q}}$，通过将四元数的模直为 1 得到。

四元数和旋转向量有很直接的转换关系。绕单位轴 $\mathbf{u}$ 转了 $\theta$ 角度，用四元数表达为

$\begin{array}{cccc}& \mathbf{q}=[\mathbf{u}\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}]& & \text{(1.4)}\end{array}$

四元数乘法 $\otimes$ 为类似于多项式乘法的逐项相乘：

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathbf{q}\otimes \mathbf{p}=}& {\displaystyle (q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k+q_4)(p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+p_4)}\\ {\displaystyle =}& {\displaystyle (q_1{p}_4+q_2{p}_3-q_3{p}_2+q_4{p}_1)i+(-q_1{p}_3+q_2{p}_4+q_3{p}_1+q_4{p}_2)j+}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle (q_1{p}_2-q_2{p}_1+q_3{p}_4+q_4{p}_3)k+(-q_1{p}_1-q_2{p}_2-q_3{p}_3+q_4{p}_4)}\end{array}$

这个计算结果可以表达为多种形式：

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathbf{q}\otimes \mathbf{p}}& {\displaystyle =\left[\begin{array}{cc}{q}_4{\mathbf{I}}_3+{\mathit{v}}_q^{\wedge }& {\mathit{v}}_q\\ -{\mathit{v}}_q^T& q_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{v}}_p\\ p_4\end{array}\right]}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\left[\begin{array}{cc}{p}_4{\mathbf{I}}_3-{\mathit{v}}_p^{\wedge }& {\mathit{v}}_p\\ -{\mathit{v}}_p^T& p_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{v}}_q\\ q_4\end{array}\right]}\end{array}$

四元数乘法和其对应的两个旋转矩阵相乘物理意义是一样的，即 $\mathbf{R}(\mathbf{q}\otimes \mathbf{p})=\mathbf{R}(\mathbf{q})\mathbf{R}(\mathbf{p})$。四元数对应的旋转矩阵为：

$\begin{array}{cccc}& \mathbf{R}(\mathbf{q})=(2q_4^2-1){\mathbf{I}}_3+2q_4{\mathit{v}}^{\wedge }+2{\mathrm{vv}}^T& & \text{(1.5)}\end{array}$

四元数的逆为 ${\mathbf{q}}^{-1}=[-{\mathit{v}}^T{q}_4{]}^T$。易得 $\mathbf{q}\otimes {\mathbf{q}}^{-1}=[0001{]}^T:={\mathbf{q}}_I$，故 ${\mathbf{q}}_I$ 表示旋转量为零。

四元数对时间一阶导为

$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle \dot{\mathbf{q}}}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}{\mathit{\omega }}^{\wedge }& \mathit{\omega }\\ -{\mathit{\omega }}^T& 0\end{array}\right]\mathbf{q}:=\frac{1}{2}\mathit{\Omega }(\mathit{\omega })\mathbf{q}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}{q}_4{\mathbf{I}}_3-{\mathit{v}}^{\wedge }\\ -{\mathit{v}}^T\end{array}\right]\mathit{\omega }}\end{array}& & \text{(1.6)}\end{array}$

读者可能注意到了 $(1.6)$ 和 $(1.1)$ 形式上的相似。这里 $\mathit{\omega }$ 的意义也是一样的。$(1.6)$ 的推导可以参考 [2]，这里不赘述。

1-3. IMU 运动模型

有了前置知识的铺垫之后，我们可以给出 IMU 的运动模型：

$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle {}_G^I\dot{\bar{q}}}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\mathit{\Omega }(\mathit{\omega }){}_G^I\bar{q}}\\ {\displaystyle {\dot{\mathbf{b}}}_g}& {\displaystyle ={\mathbf{n}}_{wg}}\\ {\displaystyle {}^G{\dot{\mathbf{v}}}_I}& {\displaystyle ={}^G\mathbf{a}}\\ {\displaystyle {\dot{\mathbf{b}}}_a}& {\displaystyle ={\mathbf{n}}_{wa}}\\ {\displaystyle {}^G{\dot{\mathbf{p}}}_I}& {\displaystyle ={}^G{\mathbf{v}}_I}\end{array}& & \text{(1.7)}\end{array}$

${}_G^I\dot{\bar{q}}$ 由 $(1.6)$ 直接得到。注意这里角速度 $\mathit{\omega }$ 是在体坐标系 {I} 下表达的，与 $(1.1)$ 处相反。原因是 ${}_G^I\bar{q}$ 表示的旋转方向与 $(1.1)$ 处的 $\mathbf{R}$ 是相反的。其他的四项，速度和加速度都很简单，bias 两项在下面观测模型部分讲。

2. IMU 观测和噪声模型

2-1 前置(1)： 科氏加速度

这部分在 1-1 的基础上，讨论参考坐标系不是惯性系的情况，熟悉科氏加速度的读者可以跳过。我们仍利用 1-1 中的图，但这次把绕惯性系 {A} 中固定单位轴 $\mathbf{u}$ 旋转的 {B} 作为参考坐标系。考虑下图， 点 P 相对于 {B} 运动，记 ${}^B\mathbf{r}$ 分别为 P 在 {B} 下的坐标，$\mathbf{r}$ 为 P 的绝对坐标（即 {A} 下坐标）， $\mathbf{R}$ 仍为 {B} 相对于 {A} 的旋转矩阵，易知 $\mathbf{r}={\mathbf{R}}^B\mathbf{r}$。

求一阶时间导，并利用公式 $(1.1)$：

$\mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}}=\dot{\mathbf{R}}{}^B\mathbf{r}+{\mathbf{R}}^B\dot{\mathbf{r}}={\mathit{\omega }}^{\wedge }\mathbf{R}{}^B\mathbf{r}+{\mathbf{R}}^B\dot{\mathbf{r}}$

记 P 在 {B} 下速度为 ${}^B\mathbf{v}$，于是

$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle \mathbf{v}}& {\displaystyle ={\mathit{\omega }}^{\wedge }\mathbf{r}+{\mathbf{R}}^B\mathbf{v}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathit{\omega }\times \mathbf{r}+{\mathbf{v}}_r}\end{array}& & \text{(2.0)}\end{array}$

请注意，这里用 ${\mathbf{v}}_r$ 来表达「相对速度」的概念，准确定义为 P 相对于 {B} 的速度，在惯性系 {A} 下的表达。请分清 ${\mathbf{v}}_r$、$\mathbf{v}$ 以及 ${}^B\mathbf{v}$ 三者之间的区别和联系。

再对 $(2.0)$ 求时间导：

$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle \mathbf{a}=\dot{\mathbf{v}}}& {\displaystyle =\dot{\mathit{\omega }}\times \mathbf{r}+\mathit{\omega }\times \dot{\mathbf{r}}+\dot{\mathbf{R}}{}^B\mathbf{v}+\mathbf{R}{}^B\dot{\mathbf{v}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathit{\alpha }\times \mathbf{r}+\mathit{\omega }\times \text{（}\mathit{\omega }\times \mathbf{r}+{\mathbf{v}}_r\text{）}+\mathit{\omega }\times \mathbf{R}{}^B\mathbf{v}+\mathbf{R}{}^B\mathbf{a}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathit{\alpha }\times \mathbf{r}+\mathit{\omega }\times (\mathit{\omega }\times \mathbf{r})+2\mathit{\omega }\times {\mathbf{v}}_r+{\mathbf{a}}_r}\end{array}& & \text{(2.1)}\end{array}$

我们来逐项分析上面这个式子。第一项中 $\mathit{\alpha }$ 为 {B} 的角加速度，所以第一项的物理意义是 {B} 旋转所造成的 P 的切向加速度。第二项是 {B} 旋转所造成的向心加速度。第四项为 P 相对于 {B} 的加速度，但在惯性系 {A} 下表达——类似于 ${\mathbf{v}}_r$，定义相对加速度 ${\mathbf{a}}_r$。第三项比较特殊，为 {B} 的旋转运动与 P 相对 {B} 的平移运动耦合产生的加速度，称为「科氏加速度」。可以看到，除了第四项外，另外三项都和 {B} 的旋转有关。

2-2 前置(2)： 惯性导航相关坐标系定义

这部分讲惯性导航中经常出现的几个坐标系的定义 [5]。

Earth-Centered-Earth-Fixed (ECEF) Frame：地心地固坐标系 ECEF。以地心为坐标原点，向北为 z 轴，x-y 平面为赤道平面，x 轴指向经纬度 (0,0) 点。ECI 固连在地球上，跟随地球自转，非惯性坐标系。MSCKF 一代 [1] 使用 ECEF 为参考坐标系 {G}。

Earth-Centered-Inertial (ECI) Frame：地心惯性坐标系 ECI。以地心为坐标原点，向北为 z 轴，x-y 平面为赤道平面，x 轴指向春分点（vernal equinox point，即每年春分时日心-地心连线与赤道的交点）。ECI 不跟随地球自转，在惯性导航中视为惯性坐标系。MSCKF 二代 [3] 使用 ECI 为参考坐标系 {G}。

Body Frame：体坐标系。原点在导航体的质心，固连在导航体上，用来表示导航体的姿态。在本文前置推导部分为 {B}，在 MSCKF 中为 {I}。

2-3 前置(3)： 高斯白噪声与随机游走

这部分讲高斯白噪声和随机游走(random walk)模型，及其离散化。这部分在kalibr 库中的 IMU noise model [4] 有简单的介绍，这里在其基础上添加了离散化的推导，因为离散化中部分内容还是有些令人疑惑的。离散化的推导部分参考自 [5]。

先讲高斯白噪声。一个连续时间的高斯白噪声 $n(t)$，满足以下两个条件

$$\begin{gathered} E[n(t)]=0 \\ E[n(t_1)n(t_2)]={\sigma }_g^2\delta (t_1-t_2) \end{gathered}$$

其中 $\delta ()$ 表示狄拉克函数。可以看出，不同时刻的高斯白噪声相互独立。${\sigma }_g^2$ 为方差，值越大，表示噪声程度越大。

将高斯白噪声离散化，可得到：

$n_d[k]={\sigma }_{gd}w[k]$

其中

$$\begin{gathered} w[k]\sim \mathcal{N}(0,1) \\ {\sigma }_{gd}=\frac{{\sigma }_g}{\sqrt{\mathrm{\Delta }t}} \end{gathered}$$​σg​​

其中 $\mathrm{\Delta }t$ 为采样时间。为什么离散化后分母会多出 $\sqrt{\mathrm{\Delta }t}$

​ 这一项呢？我们假定在一个采样周期内 $n(t)$ 为常数，于是

$n_d[k]\triangleq n(t_0+\mathrm{\Delta }t)\simeq \frac{1}{\mathrm{\Delta }t}{\int }_{t_0}^{t_0+\mathrm{\Delta }t}n(\tau )dt$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(n_d[k{]}^2)}& {\displaystyle =E(\frac{1}{\mathrm{\Delta }{t}^2}{\int }_{t_0}^{t_0+\mathrm{\Delta }t}{\int }_{t_0}^{t_0+\mathrm{\Delta }t}n(\tau )n(t)d\tau dt)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =E(\frac{{\sigma }_g^2}{\mathrm{\Delta }{t}^2}{\int }_{t_0}^{t_0+\mathrm{\Delta }t}{\int }_{t_0}^{t_0+\mathrm{\Delta }t}\delta (t-\tau )d\tau dt)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =E(\frac{{\sigma }_g^2}{\mathrm{\Delta }t})}\end{array}$

所以有　${\sigma }_{gd}^2=\frac{{\sigma }_g^2}{\mathrm{\Delta }t}$，即 ${\sigma }_{gd}=\frac{{\sigma }_g}{\sqrt{\mathrm{\Delta }t}}$

​σg​​。

接下来讨论随机游走模型。准确地讲，随机游走其实是一个离散模型，其连续模型称为维纳过程（Wiener Process）。维纳模型是高斯白噪声的积分：

${\dot{b}}_g(t)=n(t)={\sigma }_{bg}w(t)$

其中 $w$ 为单位高斯白噪声。将其离散化后得到随机游走模型：

$b_d[k]=b_d[k-1]+{\sigma }_{bgd}w[k]$

其中

$$\begin{gathered} w[k]\sim \mathcal{N}(0,1) \\ {\sigma }_{gd}={\sigma }_{bg}\sqrt{\mathrm{\Delta }t} \end{gathered}$$​

这里多出来的 $\sqrt{\mathrm{\Delta }t}$

​ 又是哪来的呢？仍假定一个采样周期内高斯白噪声为常数，有：

$b_d[k]\triangleq b(t_0)+{\int }_{t_0}^{t_0+\mathrm{\Delta }t}n(t)dt$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E((b_d[k]-b_d[k-1]{)}^2)}& {\displaystyle =E({\int }_{t_0}^{t_0+\mathrm{\Delta }t}{\int }_{t_0}^{t_0+\mathrm{\Delta }t}n(t)n(\tau )d\tau dt)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =E({\sigma }_{bg}^2{\int }_{t_0}^{t_0+\mathrm{\Delta }t}{\int }_{t_0}^{t_0+\mathrm{\Delta }t}\delta (t-\tau )d\tau dt)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =E({\sigma }_{bg}^2\mathrm{\Delta }t)}\end{array}$

所以有　${\sigma }_{bgd}^2={\sigma }_{bg}^2\mathrm{\Delta }t$，即 ${\sigma }_{bgd}={\sigma }_{bg}\sqrt{\mathrm{\Delta }t}$

​。

于是我们得到随机游走模型的完整表达。实际上，观察离散模型的表达式，可以发现它生动阐释了「随机游走」的含义：每一时刻都是上一个采样时刻加上一个高斯白噪声得到的，犹如一个游走的粒子，踏出的下一步永远是随机的。在我们前面给出的 IMU 的运动模型中，bias 就设定为服从随机游走模型。

2-4. IMU 观测模型

根据上述前置知识，现在我们可以给出 IMU 的观测模型。需要注意的是，观测在不同参考坐标系下形式不同。

以 ECEF 为参考坐标系：这是 MSCKF 一代 [1] 的做法。因为 ECEF 不是惯性系，需要考虑地球自转，于是加速度模型中将会引入科氏加速度。记 ${\mathit{\omega }}_G$ 为地球自转角速度， ${}^G\mathbf{g}$ 为重力加速度， ${\mathit{\omega }}_m,{\mathbf{a}}_m$ 为陀螺仪和加速度计的观测量，观测模型由以下公式给出：

$\begin{array}{cccc}& {\mathit{\omega }}_m=\mathit{\omega }+\mathbf{R}({}_G^I\bar{q}){\mathit{\omega }}_G+{\mathbf{b}}_g+{\mathbf{n}}_g& & \text{(2.2)}\end{array}$$\begin{array}{cccc}& {\mathbf{a}}_m=\mathbf{R}({}_G^I\bar{q})({}^G\mathbf{a}-{}^G\mathbf{g}+2{\mathit{\omega }}_G^{\wedge }{}^G{\mathbf{v}}_I+({\mathit{\omega }}_G^{\wedge }{)}^2{}^G{\mathbf{p}}_I)+{\mathbf{b}}_a+{\mathbf{n}}_a& & \text{(2.3)}\end{array}$

观测量都是在体坐标系 {I} 下表达的，所以在参考坐标系 {G} 下表达的量都需要左乘一个旋转矩阵转化到体坐标系。每个观测量的不确定量都用一个随机游走的 bias 和一个高斯白噪声之和来表达。陀螺仪的观测模型是比较易懂的。加速度计的观测模型，我们先将其改写为形如 $(2.1)$ 的形式：

${\mathbf{R}}^T({}_G^I\bar{q})({\mathbf{a}}_m-{\mathbf{b}}_a-{\mathbf{n}}_a)=({\mathit{\omega }}_G^{\wedge }{)}^2{}^G{\mathbf{p}}_I+2{\mathit{\omega }}_G^{\wedge }{}^G{\mathbf{v}}_I+{}^G\mathbf{a}-{}^G\mathbf{g}$

但这还不够，因为各个量只是在 ECEF 坐标系 {G} 下的表达，而 $(2.1)$ 中的量都是表达在惯性坐标系下的。记 ${\mathbf{R}}_G$ 为将 {G} 下坐标映射到惯性坐标系下坐标的旋转矩阵。由于 ECEF 绕固定的 z 轴匀速转动，易得 ${\mathbf{R}}_G{\mathit{\omega }}_G={\mathit{\omega }}_G$。于是上式两边左乘 ${\mathbf{R}}_G$，可得

${\mathbf{R}}_G{\mathbf{R}}^T({}_G^I\bar{q})({\mathbf{a}}_m-{\mathbf{b}}_a-{\mathbf{n}}_a)={\mathit{\omega }}_G\times ({\mathit{\omega }}_G\times {\mathbf{R}}_G{}^G{\mathbf{p}}_I)+2{\mathit{\omega }}_G\times ({\mathbf{R}}_G{}^G{\mathbf{v}}_I)+{\mathbf{R}}_G({}^G\mathbf{a}-{}^G\mathbf{g})$

这里我们还利用了 $\mathbf{R}(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=\mathbf{R}\mathbf{a}\times \mathbf{R}\mathbf{b}$ 的性质。上式对应到 $(2.1)$ 中各项，左边为绝对加速度 $\mathbf{a}$；因为地球自转是匀速的，故切向加速度项 $\mathit{\alpha }\times \mathbf{r}$ 为零。其余各项，依次为向心加速度项 $\mathit{\omega }\times (\mathit{\omega }\times \mathbf{r})$，科氏加速度项 $2\mathit{\omega }\times {\mathbf{v}}_r$，以及相对加速度项 ${\mathbf{a}}_r$。

以 ECI 为参考坐标系：这是 MSCKF 二代 [3] 的做法。由于 ECI 为惯性系，不需要考虑地球自转，于是观测模型简单很多：

$\begin{array}{cccc}& {\mathit{\omega }}_m=\mathit{\omega }+{\mathbf{b}}_g+{\mathbf{n}}_g& & \text{(2.4)}\end{array}$$\begin{array}{cccc}& {\mathbf{a}}_m=\mathbf{R}({}_G^I\bar{q})({}^G\mathbf{a}-{}^G\mathbf{g})+{\mathbf{b}}_a+{\mathbf{n}}_a& & \text{(2.5)}\end{array}$

因为比较简单，就不多做解释了。从文献上看，现在移动机器人领域 ECI 用得更多些。

至此，我们推导完了 IMU 的观测模型。

3. IMU 状态估计误差模型

3-1. 前置：四元数误差小量

旋转量是非线性的，不宜像线性量那样使用 $\tilde{\mathbf{x}}=x-\widehat{x}$ 来定义误差量。这里我们使用四元数误差小量来定义误差量。根据 $(1.4)$，四元数可以用旋转向量经简单的转换得到。假定绕单位轴 $\mathbf{u}$ 旋转了一个角度小量 $\delta \theta$，用四元数表达为：

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \delta \mathbf{q}}& {\displaystyle =\left[\begin{array}{c}\mathbf{u}\sin \frac{\delta \theta }{2}\\ \cos \frac{\delta \theta }{2}\end{array}\right]}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \simeq \left[\begin{array}{c}\mathbf{u}\frac{\delta \theta }{2}\\ 1\end{array}\right]\triangleq \left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\delta \theta }}{2}\\ 1\end{array}\right]}\end{array}$

于是，可以用 $\delta \mathbf{q}$ 来表示旋转的真实值和估计值之间的误差，具体关系为

$\mathbf{q}=\delta \mathbf{q}\otimes \widehat{\mathbf{q}}$

直接使用 $\mathrm{\delta \theta }$，可以实现参数最小化，适用于优化问题中的目标函数。

3-2. IMU 状态估计误差模型

我们直接给出和 MSCKF 一样的 IMU 状态估计误差模型：

$\begin{array}{cccc}& {\tilde{\mathbf{X}}}_{IMU}=[{\mathrm{\delta \theta }}_I^T{\tilde{\mathbf{b}}}_g^T{}^G{\tilde{\mathbf{v}}}_I^T{\tilde{\mathbf{b}}}_a^T{}^G{\tilde{\mathbf{p}}}_I^T]& & \text{(3.0)}\end{array}$

其中旋转量按照四元数误差小量给出，其余直接由真实值和估计值相减得到。

4. 小结

本文从基础出发推导了 IMU 的运动模型$(1.7)$、观测和噪声模型$(2.2)-(2.5)$、估计误差模型$(3.0)$，适用于用 IMU 来做状态估计的场合。至于以上这些模型如何再经过线性化、离散化等处理进入具体状态估计问题的框架中，这里不做赘述，留待读者阅读和探索。

参考文献

[1] Mourikis, Anastasios I., and Stergios I. Roumeliotis. “A multi-state constraint Kalman filter for vision-aided inertial navigation.” Proceedings 2007 IEEE International Conference on Robotics and Automation. IEEE, 2007.

[2] Trawny, Nikolas, and Stergios I. Roumeliotis. “Indirect Kalman filter for 3D attitude estimation.” University of Minnesota, Dept. of Comp. Sci. & Eng., Tech. Rep 2 (2005): 2005.

[3] Li, Mingyang. “Visual-inertial odometry on resource-constrained systems.” (2014).

[4] IMU noise model https://github.com/ethz-asl/kalibr/wiki/IMU-Noise-Model

[5] Crassidis, John L., and John L. Junkins. Optimal estimation of dynamic systems. CRC press, 2011.