格林公式

区域D的分类
- 单连通区域（无洞区域）
- 多连通区域（有洞区域）
- 域D边界L的正向：域的内部靠左，这两个方向都是正向

定理

设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有连续的一阶偏导数。则有

推论

根据格林公式：正向闭曲线L所围成的区域D的面积

$A = \frac{1}{2} \oint_{L} x d y - y d x$

注意，格林公式的P跟dx，所以上面的P是-y,Q是x

例子

椭圆 $L : x = a c o s θ, y = b s i n θ, (0 \leq θ \leq 2 π)$

所围成的面积

$A = \frac{1}{2} \oint_{L} x d y - y d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (a b c o s^{2} θ + a b s i n^{2} θ) d θ = π a b$

解题步骤

先写明 P=XXX,Q=XXX
判断是正向还是逆向，逆向加上负号
计算偏导数
利用格林公式转换

习题

正向格林公式

逆向格林公式：

这道题目，需要用逆向思维，把现在的函数倒退成未进行格林公式变形时的积分。然后还需要转几个弯。利用坐标的曲线积分求解的时候，需要判断出 $\vec{A B}, \vec{B O}$

\vec{O A}

即可

分类讨论：

平面上曲线积分与路径无关的等价条件

定理

设D 是单连通区域，函数P（x,y)，Q(x,y)在D内具有异界连续偏导数，则下列四个条件等价

沿D中任意光滑闭曲线L，由 $\oint_{L} P d x + Q d y = 0$

对D中任一分段光滑曲线L，曲线积分 $\int_{L} P d x + Q d y$
与路径无关，只与起止点有关
Pdx+Qdy在D内是某一函数 $u (x, y)$

d u (x, y) = P d x + Q d y

在D内每一点都有 $\frac{δ P}{δ y} = \frac{δ Q}{δ x}$

说明

根据定理，若某区域D内 $\frac{δ P}{δ y} = \frac{δ Q}{δ x}$

计算曲线积分时，可选择方便的积分路径，一般是直线。
求曲线积分时，可利用格林公式简化计算，若积分路径不是闭曲线，可以添加辅助线

例题

例一

例二+例三+例四

注意，一般让你求全微分原函数地，都是从（0，0）但要符合条件到x，y，这样会方便很多

$\int_{L} \frac{(3 y - x) d x + (y - 3 x) d y}{(x + y)^{3}}$

A (\frac{π}{2}, 0)

y = \frac{π}{2} c o s x

B (0, \frac{π}{2})

的弧段

首先确定P和Q，判断是不是 $\frac{δ P}{δ y} = \frac{δ Q}{δ x}$

知道他们相等后，我们选择最简单的路径，也就是AB直线，然后带入
积分限就是x1->x2，因为是对x积分。然后把y带入求积分

验证 $e^{x} [e^{y} (x - y + 2) + y] d x + e^{x} [e^{y} (x - y) + 1] d y$

是某个函数u(x,y)的全微分，并求出这样一个u(x,y)

首先确定P和Q，判断是不是 $\frac{δ P}{δ y} = \frac{δ Q}{δ x}$

知道他们相等
$u (x, y) = \int_{(0, 0)}^{(x, y)} e^{x} [e^{y} (x - y + 2) + y] d x + e^{x} [e^{y} (x - y) + 1] d y$
$= \int_{0}^{x} (x + 2) e^{x} d x + \int_{0}^{y} (x e^{x} e^{y} - e^{x}) d y$

然后就可以求出原函数了

题形汇总+注意点提示

1.利用格林公式，求下列曲线积分

循规蹈矩，不要跳步
找到Pdx和Qdy
计算 $\frac{δ P}{δ y}$

\frac{δ Q}{δ x}

把曲线积分化成二重积分进行计算

注意点：

对面积 $A = \frac{1}{2} \oint_{L} x d y - y d x$

要敏感
如果区域 $D_{x y}$

是包含原点的，一定要挖出一块区域，再减去这块包含原点的区域的边界的曲线积分
比如书本练习题2-10

2.全微分怎么找呢？

首先判断是否满足是否 $\frac{δ P}{δ y} = \frac{δ Q}{δ x}$

先取一个定点，然后取一个动点，这里是(0,0),和(x,y)
因为积分结果与路径无关，基本所有的题目都可以这样取路径(0,0)到(x,0)然后(x,0)到(x,y)
所以说先从(0,0)到(x,0)的时候，y = 0,dy=0,带入，那么第一段就等于0
再从(x,0)到(x,y)的时候，x是一个常数了，所以dx = 0所以第二段的Pdx就等于0 ，剩下的相当于对dy进行积分操作
注意，当分母 $|_{(0, 0)} = 0$

的时候，就不能取原点了！换成(1,0)试试

3.验证下列曲线积分与路径无关，并计算其值

首先判断是否满足是否 $\frac{δ P}{δ y} = \frac{δ Q}{δ x}$

和全微分的计算方法差不多，不过这里 $\int_{(x_{1}, y_{1})}^{(x_{2}, y_{2})}$

可以是任意值
所以我们还是要走一个矩形，固定y走x ，然后固定x走y
分别带入求解

4.确定闭曲线C使曲线积分达到最大值

首先利用格林公式把曲线积分化成二重积分的形式
要让二重积分达到最大值，D应包含所有使被积函数大于0的点。
比如 $\iint_{D} [1 - 2 x^{2} - y^{2}] d x d y$

2 x^{2} + y^{2} = 1

逆时针

2 x^{2} + y^{2} = 1

时，所给的曲线积分达到最大值
注意，曲线积分逆时针的时候取正，如果题目要求最小值，那么应该取顺时针。

格林公式

格林公式

定理

推论

例子

解题步骤

习题

平面上曲线积分与路径无关的等价条件

定理

说明

例题

例一

例二+例三+例四

题形汇总+注意点提示

1.利用格林公式，求下列曲线积分

注意点：

2.全微分怎么找呢？

3.验证下列曲线积分与路径无关，并计算其值

4.确定闭曲线C使曲线积分达到最大值

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