李群和李代数的核心思想

李群和李代数的核心思想

1. 可以理解为专门用于矩阵旋转的东西，符合封结幺逆法则；

2. 李群可以理解为旋转矩阵，李代数可以理解为旋转向量；

3. 李群是连续群，李代数可以表出李群的导数，所以李代数表示的是李群的局部性质；

4. 进而我们可以理解为：旋转向量表达了旋转矩阵的局部（旋转发生那一瞬间的领域内）性质；

5. 由拉格朗日中值定理可知：导数控制函数。李代数控制李群，$\varphi$控制$R$；^【1】

   也就是说想要估计出函数值，我们可以研究该函数的导数，用来描述某个点领域内性质。故而我们需要建立对李群的求导模型，通过分析导数的性质来估计出相机在这一时刻（领域内）的位姿。

   但是我们知道群是指只有一个运算的集合（我们选择矩阵乘法），所以李群不对加法封闭^【2】，但是我们知道李代数是建立在向量空间上的，支持加法运算。所以我们需要一种让李群映射到李代数的机制，然后通过对李代数求导，求出李群的导数。不过，对李代数求导后的结果非常复杂，所以我们需要寻找另外一种求导方式^【3】，这就是我们接下来所要介绍的内容。

   【注】

   ^【1】：某个名牌大学考研的复试题——你知道导数的作用是什么吗？

   ^【2】：李群也是一种群。甭跟我扯什么鳄鱼不是鱼、日本人不是人。

   ^【3】：对谁求导不重要，因为我们总可以通过这个导数控制相同的函数。

李群的两种求导模型（都是映射到了李代数空间）

1. BCH公式线性化（将李群的变化与李代数的变化联系起来）；

2. 对李代数求导的求导模型；（复杂）

   1. 需要求出左右雅可比矩阵的逆；

3. 对微扰动求导的扰动模型；（精简）

   1. 不需要求出左右雅可比矩阵的逆；

这两种求导模型都是会有误差存在的

李群和李代数的基础符号

1. 特殊正交群$SO\left(3\right)$，特殊欧式群$SE\left(3\right)$；

2. 特殊正交群上的李代数$so\left(3\right)$，这里我们具象化为三维$\varphi$向量或者反对称阵$\hat{\varphi }$；

   

3. 特殊欧式群上的李代数$se\left(3\right)$，这里我们具象化为六维$\xi$向量或者四维方阵$\hat{\xi }$；

   

   $\rho$表示三维空间中的平移，$\varphi$表示三维空间中的旋转。

4. 反对称矩阵与相应的三维向量：$\wedge$和$\vee$；

   

5. 向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{\omega }$都表示旋转向量的单位方向向量，$\theta$表示旋转角，$\overrightarrow{\varphi }$表示旋转向量，$R$表示旋转矩阵；